자세 운동 역학에서, 원형 궤도의 고도 h에서 위성체에 가해지는 중력과 원심력이 평형을 이룬다는 것으로부터 운동 방정식을 세우면 다음과 같다.
여기서 뮤(u 모양)는 만유인력 상수와 지구 질량의 곱, m은 위성 질량, R은 지구 반지름, w은 위성의 공전 각속도이다. 위성의 자세 운동을 기술하기 위해서는 좌표계를 명확히 설정하여야 할 필요가 있다. 이러한 좌표계는 위성마다 약간씩 다르게 될 수 있는데 좌표계에 대한 거론은 이미 앞서 한 바 있다. 본 실험에서는 1축 안정화 방식에 대한 실험을 통해 전반적인 이해를 목표로 하고 있으므로 다른 안정화 방식에 대한 복잡한 알고리즘은 언급하지 않겠다.
| 1축 안정화 방식에 대한 알고리즘 |
1축 안정화 방식에 대한 알고리즘 제어 각과 각 속도에 의해 결정되는 토크의 지배방정식은 다음과 같다.
여기서 토크의 크기를 N이라 하면, 한 번에 한 축만을 On/Off 제어할 수 있는 1축 안정화 방식에서는 다음과 같은 제어 알고리즘을 사용한다.
여기서, 가속하고자 할 때는 N의 부호를 양수(+)로 하고, 감속하고자 할 때는 음수(-)로 하여 간단한 스핀 제어를 한다. 위성의 붐을 전개하기 전 초기화 모드에서는 위성의 피치 축을 지자기 방향과 일치시키는 제어를 수행하고 전개 후에는 회전속도를 가감하기 위한 방법으로 사용된다.
| 최단정착시간 제어와 Dead Zone | Dead zone(DZ) == max rpm 도달 |
인공위성 자세제어 시스템에서는 max rpm이 존재하여 이를 넘어설 수 없는 Dead Zone이 존재한다. 이러한 회전 속도의 상한 때문에 정착시간 또한 상한 값이 존재하여 그에 대한 최단정착시간 제어가 필요하다.
입력된 정착시간에 대하여 시스템은 이에 반응하여 구동기를 이용하여 토크를 발생시킬 것이다. 여기에서 중요한 점은 적절한 정착시간이 주어진다면 문제가 되지 않겠지만, 정착시간이 Dead zone 보다 작다면 안정화를 위한 각도로 수렴하기 위해 토크에 의한 각속도는 증가할 것이고, 문제는 이러한 각속도가 시스템이 가지고 있는 max rpm을 상회할 경우이다. max rpm을 상회할 경우 주어진 토크의 값이 높기 때문에 회전속도를 감하기 위해서는 크기가 큰 토크가 필요하게 되고, 그에 의한 반작용으로 반대편으로도 똑같은 작용이 일어나 연쇄적인 튐 현상을 일으키게 된다. 이러한 연속적인 현상은 결국 원하는 각도로의 안정화를 이룰 수 없고 진동을 일으킬 뿐, 입력에 수렴하지 않게 된다. 이러한 현상을 줄이기 위해서 Damper를 추가시켜 시스템의 성능을 향상시킬 수도 있다.
자세오차가 제어된 후에도 추력기가 계속 동작을 하게 되는데 이것은 최단시간 제어 그 자체에 있어서 피할 수 없는 현상으로 이를 극복하기 위해서 일반적으로 Dead Zone(DZ)을 사용한다. 이는 연료 감소, 자세 지향성능 감소, 기동시간(maneuver time)의 증가 등을 가져올 수 있다. 이에 대하여 다음 수식에 나타내었다.
| 최단시간 제어와 PWM | PWM (Pulse Width Modulation) |
▲ PWN 전체 블록도와 Block
최단시간 제어는 주어진 추력기의 토크를 가지고 가장 빠른 시간에 원하는 각도로 자세를 제어할 수 있는 장점을 가진 반면 오차를 극복한 후에도 계속적으로 추력기가 동작하여 연료의 소모를 가져오는 단점이 있다. 실제 위성에서는 빠른 시간의 응답보다는 연료의 소모를 최소화하는 것이 가장 상대적으로 중요하므로, 최단시간 스위칭 함수와 PWM을 결합한 제어로직을 사용하여 1축 회전 시뮬레이터의 자세 제어를 수행하게 된다. 이 PWM의 원리는 제어기 출력의 크기가 일정한 경우 입력을 크기에 비례하도록 출력의 지속시간을 조절하는 것이다.
PWM블록 안의 지연(delay)은 시스템에 댐핑을 유발시키고, 궤환 신호가 PWM 입력신호보다 작을 때 최대 댐핑이 된다. 그리고 입력신호가 궤한 신호보다 크지 않다면 limit cycle을 발생시킨다. 이러한 관찰로부터 이득, 를 결정할 수 있다. 한편 이득, 는 원하는 최소 펄스 시간으로부터 결정된다. [그림 : PWM Block]에 표시된 d1은 한 샘플링 주기안에 최소로 추력기를 동작시킬 수 있는 최소 펄스 길이를 나타내므로, 이는 앞에서 언급한 Dead Zone과 같은 의미를 갖는다. 여기에서는 최소 각도 오차 값을 1°에 해당하는 값으로 설정하였다. 또한 d2는 한 샘플링 주기 동안 최대로 추력기를 동작할 수 있는 시간을 의미한다. 일반적으로 시스템의 샘플링 주기와 일치한다.
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